شرح stat 4.3

[2ttto]

Ch (4. 3)

The Multiplication Rules and Conditional Probability

قـــــــــــوانين ضرب الاحتمالات و الاحتمالات الشرطيه

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

نقول اول شي انو (( and )) يعني ضرب زي لمن كونا نقول انو (( or )) جمع

في الضـــــــرررب لازم نفرق بين الحدثان المستقلان والحدثان الغير مستقلان لانو لكل حدث قانون خاص

نقـــــــــــول الحدثان المستقلان independent

لمن يكون عندنا حدث اول A وحدث ثاني B

احتمال ظهور الحدث الاول لايؤثر في احتمال ظهور الحدث الثاني

....:::مثلاً:::...

لمن نرمي زهرين وطلع رقم الاولى ستة والزهر الثاني 1

ظهور 6 مالها دخل او أي تأثير على ظهور 1

او لمن نقول

انو عندي كرتون تفــــــــاااح وأخذنا حده ورجعناها << الحدث الأول A

وبعدين رجعنا أخذنا تفاحه مره ثانيه ورجعناها << الحدث الثاني B

لمن أخذنا ورجعنا كان ماسوينا شي يعني ماراح يأثر لانو كل شي رجع زي ماكان

الحــــــــــــــدثان الغير مستقلان dependent

هنا يكون عندنا حديثن الاول A كان لو تأثير على الحدث الثاني B

....:::مثلاً:::...

كرتون التفاح اخـــــــــذنا منو تفاحه وما راجعناها <<الحدث الاول A

ورجعنا اخذنا غيرها <<الحدث الثاني B

هنا تغير عندنا فراغ العينه من الاول لثاني لو قولنا الكرتون فيه 20 تفاحه بعد الحدث الاول صار 19

فبكذا الحدث الاول كان لو تأثير على الحدث الثاني

دحـــــــين الحدثان المستقلان نستخدم لو قانون وهوا::

P(A and B) =P(A) x P(B)

مثــــــــــــــــــــــال

:::

::

::

::

An urn contains 3 red balls, 2 blue balls, and 5white balls. A ball is selected and its color noted. Find the probability of each of these

السؤال يقول:: عندو 3 كور حمرا وكورتين زرقا و5 كور بيضاء لمن اختار ((بس اخيتار ماراح يأثر على فراغ العينه)) الكور حسب اللون ايش احتمال ظهور التالي

a. Selecting 2blue balls

b. Selecting 1 blue balls and then 1 white ball

c. Selecting 1 red ball and then 1 blue ball

اول شي عشان نسهل الحل نجيب احتمال ظهور كل لون من الكور

::

الكور الحمرا = 3 على 10

الكور الزرقا = 2 على 10

الكور البيضا =5 على 10

دحين نشوف اول فقره ايش تقول ::

a. Selecting 2blue balls

اختار الكوره الاولى زرقا واختار الثانيه زرقا

نحنا لمن قولنا ((و)) هي بمعنى (( and )) يعني ضرب

P( blue and blue ) =P(blue) x p(blue)

= 2/10 x 2/10 =4/100

= 1/25

.................................................. .....

الفقـــــــــــرة الثانيه

b. Selecting 1 blue balls and then 1 white ball

اختار كوره زرقا والثانيه بيضا

P( blue and white ) =P(blue) x p(white)

=2/10 x 5/10 =10/100

= 1/10

.................................................. ..

الفقــــــــــرة الاخيرة

c. Selecting 1 red ball and then 1 blue ball

اختار الاولى حمرا والثانيه زرقا

P( red and blue ) =P(red) x p(blue)

=3/10 x 2/10 =6/100

=3/50

::.::.::.::.::.::.::.::.::.::.

مـــــــــــــــــثال ثاني

::

::

::

::

Approximately 9% of men have a type of color blindness that

prevents them from distinguishing between red and green. If 3 men

are selected at random, find the probability that all of them will have

this type of red-green color blindness.

يقول انو 9% من الذكور مصابون بعمى الالوان يمنعهم من التميز بين الاحمر والاخضر,وهما اختاروا ثلاثه رجال عشوائي عشان يشوفوا احتمال اصابيتهم فيه

((للمعلوميه انو يصاب فيه الذكور اكثر من الاناث تقول الدكتورة انتو يالبنات اشتروا فستان احمر فترة الخطوبه واسألي خطيبك ايش اللوان؟! اذا ماعرف ريحي نفسك ولاتجلس تسوي نفسك حركات وتلبسي احمر لانو مايشوفو احمر ^_^))

راح نفرض انو كل رجال منهم بحرف C ونطبق القانون

P(C and C and C ) = P( C ) x P( C ) x P( C )

= .09 x.09 x .09

=0.000729

0.09 من الرجال مصايبن فيه والاول احتمال ظهور المرض عندو بنفس النسبه والاثنين الثانين زيو هي بالسؤال 9% نحنا قمسنا 9 على 100

ربي يجيركم ويحيمكم يآآآآآآآرب

....................................

ومن هنــــــــــا نقول:: انو لمن يكون الحدث مستقل مايؤثروا
على بعض نستخدم الضرب بشكل عادي بينهم وممكن يكون اكثر من احتمال وهذا مايفرق عادي نضرب الاحتمالات كلها سوا

..................................

في سؤال حلو في مخلص الدكتور جمال السعدي

يقول::

A coin is flipped and a die is rolled. Find the probability of

getting a head on the coin and a 4 on the die.

انو رمى الفلوس والزهر بوقت واحد مااحتمال ظهور الصوره من القطعه المعدنية واحتمال ظهور ظهور الرقم 4

صح انو حدثيان كول واحد مالو دخل اوتأثير على الثاني راح نحلهم عادي بعدين نضرب عشان and

ظهور الصور = 1 على2

ظهور الرقم 4 = 1 على 6

تصير بتطبيق القانون

1/2 x 1/6 =1/12

الحــــدثان الغير مستقلان dependent

يلي يأثر فيه الحدث الاول على الثاني

.........................

تستخدم قانون وهوا:

P(A and B) = P(A) × P(B/A)

مثـــــــــــال

At a university in western Pennsylvania, there were 5 burglaries reported in 2003, 16 in 2004, and 32 in 2005. if a researcher wishes to select at random tow burglaries to further investigate, find the probability that both will have occurred in 2004.

السؤال يقول :

في جامعة في بنسلفانيا الغربية ، كانت هناك 5 عملياتسرقة سجلت في عام 2003 ، و 6 عمليات سرقة سجلت في عام 2004 ، و 32 عملية سرقة سجلتفي 2005 . اذا كان هناك باحث يريد اختيار عمليتي سرقة عشوائيا لإجراء عملياتالتحقيق عليها . اوجد احتمالية ان تكون هاتين العمليتين حدثتا في عام 2004

السؤال قال انو يبغا يختار عمليتي سرقة لكن بدونارجاع لأنه لم يذكر في السؤال with replacement

اذا عند سحب العملية الأولى يكون الإحتمال = 16/53

لكن عند سحب العمليةالثانية نلاحظ انه لم يرجع السحبة الأولى
(يعني نطرح السحبة الأولى من فراغ العينة الأول ) اذا سيكون فرغالعينة = 53 - 1 = 52
اما عددعناصر الحدث ( الي هو البسط )
طبعا بما انه لم يتم ارجاع السحبة الأولى
اذا عدد عناصر الحدث الجديد = 16- 1 = 15
لكن اذا سحبت العينة الجديدة منعام 2005 مثلا .. فلن نطرح 1 من البسط لانو كل واحد منهم يمثل سنة مختفة عنالأخرى

وعشان تجيبي احتمالان تكون السحبتين من عام 2004 = 16/53 ضرب 15/52

والشكــــــــراً لاخويا محمد ((ريــال سعودي)) لانو هذا السؤال شرحو وترجمتو دعواتكم للرجال ^_^ ربي يوفقك اخويا

مثـــــال ثاني على نفس القاعده من ملخص الدكتور جمال يقول فيه::

A person owns a collection of 30 CDs, of which 5 are country

music. If 2 CDs are selected at random, find the probability that

both are country music.

يقول انو شخص عندو 30 سي دي للاغاني ومنها 5 موسيقه ريفيه

اذا اختار 2 CDs ((ماعرفت اجمع السي دي ^_^ بالعربي))

بطريقه عشوائيه فمااحتمال انو يكونوا لاثنين موسيقه ريفيه

الــــــــــــحل

الاحتمال الاول A للسي دي الاول راح يكون عدد 5 مجملها يلي اغاني ريفيه على فراغ العينه يلي هوا 30 اذا احتمال ظهورها =

5 على 30 ((30 هوا فراغ العينه))

الاحتمال الثــــــــــاني B هوا للسي دي الثاني بس نقص عن اول بواحد لكل من عدد السي دي هات وفراغ العينه

بدل مو هي 5 راح تصير 4

وبدل مو هي 30 راح تصير 29

يعني احتمال ظهور 4 على 29

ونضربهم في بعض

5/30 x 4/29 = 20/870 =2/87

وكمـــــــان شكراً اخويا محمد على التصحيح

مثـــــــــــــال

::

::

::

World wide insurance company found that 53% of the residents of a city had homeowner's insurance (H) with the company . Of these clients 27% also had automobile insurance (A) with the company .If a resident is selected at automobile insurance with world wide insurance company.

يقول انو شركة تأمين امن عندها 53% من سكان المدينه و 27%من نفس الـ 53 امن على السيارات كمان يعني عندنا 27% مأمن على بيتو ويسارتو..

يبغى احتمال لشخص امن على الاثنين سوا

((مدام عندنا نسب نضرب على طول ببعض بدون ممانسوي أي شي ثاني))

فيصير الحــــــــــــل::

.53 x.27 =.1431

وكمـــــان شكراً محمد ((^_^ اعرف اني مابقيت شي )) ربي يوفقك اخويا

....................................

.....................

The Conditional probability

الاحتمــــــــــــال الشرطي

The conditional probability of an event B in relationship to an event A is the probability that an event B occurs after event A has already occurred. The notation for the conditional probability of B given A is P(B|A).

بمعنى انو احتمال ظهور A يشترط ظهور B

والعلامه يلي زي كذا (/) مو قسمة هذا معناها انو شرط ظهور A هو ظهور B

ملاحظه:: given في السؤال بمعنى يشترط

مثــــــــــــال

A recent survey asked 100 people if they thought women in the

armed forces should be permitted to participate in combat. The

results of the survey are shown.

يقول سوا دراسة بسؤال مية شخص على اذا هوا مع انو الحرمه تتوظف في الوقت المسلحه, وكانت النتائج زي الجدول:

وفرض رموز عشان يسهل الحل

يلي هي::

Let: M = Male F = Female

Y = yes N = No

Find these probabilities.

a. The respondent answered yes, given that the respondent was a female.

يقول الاشخاص يلي جاوبوا بنعم وبشرط يكونوا من الحريم

P(Y/F) = P(Y and F ) / P(F)

عدد الحريم يلي قالوا ايوه 8 على فراغ العينه 100 شخص قاموا بالاجابه

كلهم مقسومين على::

مجموع الحريم بشكل العام الموافقين والغير موافقين يلي هوا 50 على فراغ العينه تصير

(8/100) / (50/100) = .16

b. The respondent was a male, given that the respondent answered no

يبغى الرجال يلي قالوا لا

عدد الرجال يلي قالوا لا هو 18 على فراغ العينه

كلو مقسمو على

مجموع الرجال بشكل عام الموافق والغير موافق وهوا 60 على فراغ العينه 100

يصير الحل

(18/100) / (60/100) = .3

هـــــــــــذا السؤال مــــــــــــره مره مهم ياراح يجي دحين او في النهائي ,,راح يجي في كل الاحوال بنفس الصيغه

واخر شي عندنا المكمله وهي

Complement

طبعاً المكمله لاي حدث = احتمال الحدث-1

لانو مجموع الاحداث لاي احتمال =1

مـــــــــــــثال

A Coin is tossed 5 time . Find the probability of getting at least 1 tail??

فلوس رماها خمسه مرات ,اوجدي احتمال انها تعطي كتابة واحده على الاقل..

طيب مكملة الكتابة هي صوره اذا ترمت مره وحده بس خمسة مرات راح نقول::

P(at least 1 tail)= 1- P(E)

مفروض (الإي) عليها خط فوق بمعنى انها مكملة الحدث مو الحدث نفسو::

نصير نقول كم مره رماها 5 مرات اجل فراغ العينه كم على حسب الدروس الاول انو 2 اس 5 عشان وجهين ورميناها 5 مرات

تصير 32 وهو فراغ العنيه

الحل ::

1- 1/32 =31/32

الواحد الحدث كاكل والواحد على 32 هوا المكمله لو وهو احتمال ظهور الصوره

اتنمى تكون مفهومه لاني حاولت اقريبها كثير فاتنمى انها مفهومه لانو ممكن يغير كم مره رماها وهنا ماعلينا غير نرفع 2 الى عدد المرات يلي راماها

وفي الاخيـــــــر جد آسفه على التأخير وربي يوفقنا ويوفق الاخ محمد ماقصر معايا بالمساعده..

اتنمى تعذروا التأخير واتنمى يكون مفهوم

4.1

http://www.skaau.com/vb/showthread.php?t=379283&page=3

4.2

http://www.skaau.com/vb/showthread.php?t=379872