احصاء

سارونه الحربي · #1 04-05-2011, 03:53 AM

ملخصات الاحصاء
1

الفصل الأول + الثاني

الإحصاء يزود الباحثين بالموضوعية واستخدام الطرق في وصف وتفسير نتائج البحوث
هناك علاقة وثيقة بين مناهج البحث والإحصاء
الإحصاء يعين الباحث على تحديد مفاهيم البحث تحديداً إجرائياً
يستخدم الإحصاء في اختبار الفقرات المناسبة عند بناء المقاييس مثل التحليل العاملي
يعتبر الإحصاء أداة مهمة في عملية صياغة تساؤلات وفروض الدراسة
قبل الشروع في جمع الملومات يلجأ الباحث للإحصاء عند اختبار العينة
يستعين الباحث بالإحصاء في اختبار الفروض الإحصائية
تعريف الإحصاء " هو الإجراءات الرياضية المستخدمة في التنظيم وتلخيص وتفسير المعلومات "
يبدأ البحث العلمي بسؤال عام يخص مجموعة أو مجموعات معينة من الأفراد
تعريف مجتمع البحث " عبارة عن مجموعة تضم كل الأفراد المعنيين في دراسة معينة "
قد يكون مجتمع البحث كبيراً جداً أو صغيراً جداً حسب تعريف الباحث لمجتمع بحثه
من الناحية الواقعية عادة ما يكون مجتمع البحث كبيراً جداً
الباحثون عادة ما يذهبون إلى اختيار مجموعة صغيرة من مجتمع البحث لقصر دارستهم
يعتبر الأفراد المختارين لمجتمع البحث يسمون عينة الدراسة
تعريف العينة " هي مجموعة من الإفراد تم اختيارهم من مجتمع البحث بفرض تمثيل مجتمع البحث في دراسة معينة "
عندما يفرغ الباحث من تغطية العينة بالدراسة فأن هدفة الأساسي يتركز على تعميم النتائج
أدوات جمع البيانات هي الملاحظة ـ صحيفة الإستبانة ـ المقابلة
تسمى الدرجات الكلية للقياسات والملاحظات بالبيانات
ما يتم رصدة من قياس أو ملاحظة بالنسبة لكل فرد تسمي درجة
الإحصاء الوصفي " هو عبارة عن العمليات الإحصائية لتبسيط وتنظيم وتلخيص البيانات "
الإحصاء الاستدلالي " هو عبارة عن تقنيات تسمح بدراسة عينات معينة للخروج بتعميمات تنسحب على مجتمع البحث الذي سحبت منه العينة "
هناك تقنيات أخرى لتلخيص مجموعة الدرجات في قيمة فردة واحدة كالمتوسط الحسابي ـ الوسيط ـ المنوال ـ الانحراف المعياري
العينة لا يتوقع أن تعطينا صورة مطابقة تماماً لمجتمع البحث
الخطأ العيني " هو تباين أ حجم الخطأ بين قيمتة الإحصائية وقيمة معالم المجتمع
هامش الخطأ " يسمى الخطأ العيني وأيضاً الخطأ المعياري
تسمي النتائج المستقاة من دراسة مجتمع البحث " معالم البحث او معالم المجتمع "
تسمي النتائج المستقاة من دراسة مجتمع العينة " إحصائية "
تصنف التقنيات الإحصائية في قسمين رئيسين هما 1ـ الإحصاء الوصفي 2ـ الإحصاء الاستدلالي
أهم ما يميز المجتمع الحديث هو الدقة في القياس واتساع استخدام القياس
يجب علي طلاب العلوم الاجتماعية والنفسية والإنسانية الإلمام الصحيح بطرق التحليل الإحصائي
التحليل الإحصائي لا يتوقف في موقف مقابل لمنهج التحليل النوعي فكلا الطريقتين متكاملتان
الرموز الرقمية والحرفية في البيانات الاسمية لغرض التعيين والتعريف فقط
البيانات الترتيبية تظم المتغيرات التي يتم تصنيفها إلى وحدات مرتبة من أسفل إلى أعلى والعكس
يستخدم من المقاييس الرياضية إشارة يساوي ( = ) فقط مع البيانات الاسمية
يستخدم من المقاييس الرياضية إشارات ( = ) ، ( < ) ، ( > ) مع البيانات الترتيبية
يستخدم من المقاييس الرياضية إشارات ( = ) ، ( < ) ، ( > ) ، ( + ) ، ( - ) ، ( * ) ، ( القسمة ) مع بيانات الفترة
البيانات النسبية تستخدم كل المقاييس الرياضية
بيانات الفترة تتضمن المتغيرات التي يتم تصنيفها إلى وحدات مرتبة ومحددة " رقميا " من أسفل إلى اعلي والعكس
اختبار الذكاء يعتبر من أفضل الأمثلة لبيانات الفترة
من عيوب قياس الفترة هو عدم إمكانية تحديد بداية المقياس الحقيقي أي لا يمكن معرفة موقع الصفر الحقيقي في المقياس .
في مقياس الفترة يعتبر تحديد الصفر تحديداً اعتباطياً وليس حقيقاً
في البيانات النسبية يمكن معرفة بداية المقياس الحقيقي أي معرفة موقع الصفر الحقيقي
يطلق الإحصائيين على البيانات الاسمية والترتيبية اسم " البيانات النوعية "
يطلق الإحصائيين على البيانات الفترة والنسبية اسم " البيانات الكمية "
المقاييس التي وضعت لوصف وقيا س خصائص البيانات الأدنى مستوى يمكن استخدامها مع البيانات الإعلي مستوى والعكس " غير صحيح "
لتنظيم البيانات النوعية أساسين هما ( أن يكون التصنيف جامعاً لأقسام الظاهرة ـ وأن يكون القسم المذكور غير متضمن في الأقسام الآخرى
عمود النسب المئوية يستخدم لتحليل الجدول
اللوحة الدائرية تستخدم لتبين نسبة الأجزاء أو للمجموع الكلي
المحور الأفقي في الأعمدة البيانية يحتوي على فئات المتغير النوعي
المحور الرأسي في الأعمدة البيانية يحتوي على عدد التكرار
الغرض الأساسي من تكوين الجدول ورسم الإشكال البيانية هو تمكين الباحث من تحليل البيانات .
عند تحليل الجدول نركز على عمود النسب المئوية
تعتبر النسب المئوية مقاييس معيارية

المتغيرات الكمية لها نوعان متغيرات متصلة ـ ومنفصلة
المتغيرات المتصلة تأخذ أي قسمة تختارها من بين القيم الواقعة بين قيمتين مثل ( العمر ـ الطول ـ الوزن ـ درجة الحرارة )
المتغيرات المنفصلة لا تأخذ إلا قيماً محددة بين القيم الواقعة بين قيمتين مثل ( عدد غرف المنزل ـ عدد الطلاب ـ عدد السيارات )
المتغيرات المتصلة يمكن أن تحتوي على كسور
المتغيرات المنفصلة لا يمكن أن تحتوي على كسور
عندما يتكون لدينا بيانات متصلة تحتوى على كسور نقوم بتحويلها إلى بيانات منفصلة قبل الشروع في تكوين جدول التوزيع التكراري
يكون تقريب القيم التي تحتوي على كسور بتقريبها إلى أقرب رقم صحيح
طول الفئة يفضل أن يكون فردياً لتجنب الكسور
إذا كان طول الفئة محدداً يكون الجدول حسب طول الفئة المحددة
لتحويل الحدود غير الحقيقية إلى حدود حقيقية يتم بطرح 0.5 من الحد الأدنى وإضافة 0.5 للحد الأعلى لنفس الفئة
أنواع الرسوم البيانية المدرج التكراري ـ المضلع التكراري ـ المنحني التكراري ـ المنحني التكراري المتجمع
المنحني التكراري أفضل إيضاح من المضلع التكراري إذا أحسن رسمة
المحور الأفقي في المدرج التكراري يمثل الفئات والرأس يمثل التكرار
في المضلع التكراري يتم توصيل النقاط بالمسطرة
في المنحني التكراري يتم توصيل النقاط بخطوط ممهدة رسم اليد

الفصل الثالث

المنوال " هو احد مقاييس النزعة المركزية ويمكن استخدامه لقياس البيانات النوعية وأيضا البيانات الكمية
المنوال " هو المقياس الوحيد للبيانات النوعية الاسمية
المنوال يشر إلى أكثر من القيم شيوعاً أو تكراراً سواء كانت القيمة تضيفة أو رقمية
المنوال هو الفئة المقابلة لأكبر التكرارات
يكون هناك أكثر من منوال إذا اشتركت قيمتان أو أكثر في عدد مرات تكرارها وقد لا يكون هناك أي منوال في المجموعة
المنوال الدقيق لا يأخذا في اعتبارة تكرار الفئة المنوالية فقط أنما تكرار الفئتين
الوسيط هو مقياس النزعة المركزية للبيانات الترتيبية وهو يركز على موقع القيمة
الوسيط من مقاييس النزعة المركزية المهمة لوصف بيانات العلوم الاجتماعية
المتوسط الحسابي يعتبر من أهم مقاييس البيانات الكمية ولا يستخدم مع البيانات النوعية
المتوسط الحسابي هو حاصل جمع عدد القيم مقسوم على عددها
إذا كانت القيم كبيرة مما يصعب معها أجراء عمليات الجمع فأننا نستخدم طريقة الوسط الفرضي لتصغير حجم القيم الكبيرة
الوسيط المرجح هو عبارة عن متوسط المتوسطات
مزايا المنوال ـ سهولة قياسة ـ لا يتأثر بالقيم الشاذة
عيوب المنوال ـ يركز على قيمة واحدة فقط أو قيمتين ويهمل بقية التوزيعات ـ لا يمكن استخدامة بالطرق الجبرية ـ غير دقيق ويتم قياسة بالطرق التقريبية ـ يستند علي قيمة واحدة فقط ويخضع للتغير من عينة لأخرى
مزايا الوسيط ـ يمثل متوسطاً موقعياً ـ في حالة الالتواء لا تتأثر قيمتة بطبيعة الالتواء
الوسيط يفضل استخدامة عندما تكون البيانات ملتوية بطريقة شاذة سلبياً أو إيجابيا
من عيوب الوسيط يرتكز على قيمة واحدة وهي القيمة الوسطي ويهمل بقية التوزيعات
" المتوسط الحسابي " يفضل استخدامة إذا كان توزيع البيانات توزيعاً معتدلاً
يقصد بالتوزيع المعتدل هو تجمع البيانات في منتصف التوزيعات وتقل كلما انتقلنا للأطراف وتسمي بالتوزيعات الملتوية
يكون التواء البيانات موجباً عندما تتجمع البيانات في بداية التوزيع وتقل كلما اتجهنا إلى نهاية التوزيعات
يكون التواء البيانات سالباً عندما تتجمع البيانات في نهاية التوزيع وتقل كلما اتجهنا إلى بداية التوزيعات
إذا كان توزيع البيانات معتدلاً فأن أفضل المقاييس للنزعة المركزية هو المتوسط الحسابي
المتوسط الحسابي يستخدم كل البيانات المتوفرة في التوزيعات
المتوسط الحسابي يعتبر الأساس في معظم عمليات الإحصاء الاستدلالي
المتوسط الحسابي المرجح يعالج البيانات التي فيها جبر
المتوسط الحسابي يتأثر بالقيم الشاذة أي التوزيعات الملتوية فهو أكثر المقاييس تأثراً بالأتواء
المنوال دائماً يحتل قيمة المنحني
الوسيط يحتل الموقع الوسط بين المنوال والمتوسط الحسابي

الفصل الرابع

مقياس التشتت بالنسبة للبيانات النوعية يسمي " معدل التباين النوعي "
معدل التباين النوعي " هو عبارة عن النسبة المئوية بين التباين الكلي وبين أقصى تباين
مقايس التشتت بالنسبة للبيانات الكمية هي المدى ـ المدى ألربعي ـ الانحراف المتوسط ـ مجموع المربعات ـ معدل التباين ـ الانحراف المعياري
المدى هو الفرق بين أعلي درجة وأقل درجة في التوزيعات
ألمدي يصلح لقياس التشتت في حالة البيانات معدلة التوزيع أي لا تضم قيماً شاذة
المدى ألربعي هو الفرق بين الربعين الأعلى والأدنى للمشاهدات
يستخدم الإحصائيين نصف المدى ألربعي أكثر من المدى ألربعي
الانحراف المتوسط يستند على الانحرافات المطلقة للدراجات عن متوسطها الحسابي
الانحراف المعياري يصل إلى أقصي حد عندما تنقسم القيم بين طرفي المقياس
يندر أن تقل النسبة بين الانحراف المعياري والمدى عن ( 12 ) أو تزيد عن ( 6 )
المدى يساوي في الغالب 6 * الانحراف المعياري
إذا كانت القيم متساوية يكون مجموع المربعات ومعدل التباين والانحراف المعياري ( صفراً )
يعتبر معامل الاختلاف من مقاييس التشتت ويستخدم لقياس مدى تجانس أو تشابة مجموعتين أو أكثر
معامل الاختلاف يجمع بين مقياس النزعة المركزية والتشتت في معامل واحد وذلك بنسبة مقياس التشتت لما يعادلة من مقياس النزعة المركزية
يمكن استخدام معامل الاختلاف لمقارنة مجموعتين فيما يتعلق لظاهرة ما
استخدام معامل الاختلاف عند المقارنة بين المجموعات أفضل من استخدام مقاييس التشتت فقط
الالتواء هو المدى بعد المنحي عن التمايل والاعتدال
يمكن الإلمام بنمط الالتواء ودرجة ألتوائة من شكل المنحني نفسه

الفصل الخامس

العينة العشوائية تعتمد على نظرية الاحتمالات في اختيار مفردات العينة من مجتمع البحث
تنقسم العينة العشوائية إلى ثلاثة أقسام ـ العينة العشوائية البسيطة ـ العينة العشوائية الطبقية ـ العينة العشوائية العنقودية
في العينة العشوائية البسيطة يتم اختيار المفردات بطريقة فردية ومباشرة من خلال عملية عشوائية
المتطلب الأساسي في العينة العشوائية البسيطة هو تحديد مفردة من مفردات مجتمع البحث بطريقة واضحة
عملية اختيار العينة العشوائية البسيطة عن طريق القرعة إذا كان حجم مجتمع البحث صغيراً ـ أو عن طريق الحاسب الآلي ـ أو جدول الأرقام العشوائية ـ أو عن طريق اختيار مفردات العينة بإتباع طريقة العينة العشوائية المنتظمة
مجموع مجتمع البحث الكلي مكون من خمس خانات
العينة العشوائية المنتظمة هي اختيار الوحدات من قائمة بتطبيق فترات منتظمة بحيث يتم اختيار المفردة التي تقع بعد عدد معين من المفردات مبتدئاً من مفردة عشوائية
العينة العشوائية المنتظمة أسهل وأسرع في التطبيق لأنها لا تحتاج إلى اختيار كل المفردات بطريقة عشوائية
العينة العشوائية المنتظمة ينتج عنها توزيعاً منتظما لأفراد العينة
من عيوب العينة العشوائية المنتظمة أنها لا تعطي عينة مماثلة لمجتمع البحث اذا كانت المفردات غير موزعة بطريقة عشوائية
يجب عدم ا ستخدام العينة المنتظمة إذا كان أفراد المجتمع لبحث قد تم تسجيلهم مرتين
يجب عدم استخدام العينة المنتظمة إذا كان قائمة مجتمع البحث لها خصائص تتطابق مع مقدار التمثيل
العينة العشوائية الطبقية تستخدم في حالة وجود مجتمعات تتميز بتباين نوعيات مفرداتها بحيث يمكن تقسمها إلى مجموعات
تستخدم العينة العشوائية الطبقية لضمان تمثيل جميع فئات المجتمع
تستخدم العينة العشوائية الطبقية لأنها تسمح بتطبيق إجراءات اختيار مختلف في كل طبقة
العينة الممتازة هي التي تمثل مدى التباين الموجود في مجتمع البحث .
هناك عدة طرق لاختبار العينة الطبقية وهي :
1) تحديد حجم مجتمع البحث الكلي
2) تقسم مجتمع البحث إلى فئات متباينة
3) تحديد عدد أفراد كل طبقة
4) استخدام الأسلوب العشوائي البسيط
العينة الطبقية العشوائية تختار العناصر داخل كل طبقة عن طريق العينة العشوائية البسيطة
العينة العشوائية الطبقية تختار عناصر الطبقة بطريقة غير عشوائية في العينة العمدية الطبيقة
في الاختيار الاحتمالي غير المتساوي نختار وحدات العينة بأعلى أو أقل في الاختبار
يستخدم الاختبار الاحتمالي غير المتساوي لتخفيف الجهد والنفقات
من عيوب الاختبار الاحتمالي غير المتساوي يكمن في الحاجة إلى القيام بإجراء ترجيحات في التحليل
العينة العنقودية هي التي بموجبها يتم تقسم مجتمع البحث إلى فئات أو مجموعة عناقيد متماثلة
العينة الطبقية يتم تقسم مجتمع البحث إلى فئات متباينة وغير متماثلة
العينة العنقودية يتم تقسم مجتمع البحث إلى فئات متماثلة ولكن كل عناصر كل عنقود يتسم بالتباين .

تمرين 1) مهم جداً سوف يأتي سؤال مماثل في الاختبار
الجدول التالي يوضح عينة من العاملين حول آرائهم فيما يتعلق بمكافآت ما بعد الخدمة المطلوب قياس مدى أو تماثل أو تباين آراء العاملين فيما يتعلق بهذا الآمر مستخدماً أفضل قياس ممكن ؟

الآراء

العدد

أقصى تكرار ممكن

يفضلون معاشاً شهرياً

35

70

يفضلون مكافأة دفعة واحدة

80

70

يفضلون صرف نصفها والباقي معاشاً شهرياً

95

70

المجموع

210

الحل هو :ـ هناك عدة طرق ولكن استخدمت الطريقة الأولي :
البيانات هنا نوعية المطلوب مقياس معدل التباين النوعي لأنه المقياس الوحيد لقياس التباين أو التشتت
تحديد مجموع التباين الفعلي وهو ضرب التكرار في التكرارات التي بعده كلها مثل
( 35*80 ) + ( 35*95 ) + ( 35*80 ) + ( 80*95 ) = 13725
القاعدة :
( 3 ك ) * ( ف – 1 )
2 * 1
أي مجموع التكرار ضرب 3 – 1 ( * 3 يعني عدد الفئات في الجدول )

210 * 3-1 = 44100 * 2 = 88200 = 14700
2 *3 6 6
مجموع أقصى تباين ممكن

تمرين 2 ) مقاييس التشتت بالنسبة للبيانات الكمية
السؤال :ـ القيم التالية عبارة عن أعمار عينة من المبحوثين ؟

( 35 ـ 60 ـ 15 – 44 – 90 – 53 – 42 )

المطلوب قياس المدى ؟

الحل :ـ باستخدام الحدود الغير حقيقة

المدى = قاعدة :ـ أعلي قيمة ( ناقص ) أدني قيمة + 1

المدى = ( 90 – 15 ) + 1 = 75 + 1 = 76 عاماً

تمرين 3 ) سؤال المدى ألربعي مهم جداً جداً
وهو عبارة عن الفرق بين الربعين الأول والثالث
( 35 – 14 – 65 -45 -13 – صفر - 25 – 32 -95 -34 -54 – 52 )
المطلوب قياس المدى ألربعي :

القيمة

المرتبة

صفر

13

14

25

32

34

35

45

52

54

65

95

رتبة

القيم

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

تحديد رتبة الربع الأدنى ن * 1 = 12 * 1 = 3 أي الرتبة الثالثة
4 4
تحديد الربع الأدنى القيمة المقابلة للرتبة ( 3 ) = 14

تحديد رتبة الربع الأدنى ن * 3 = 12 * 1 = 3 * 3 = 9
4 4
إذا الربع الأعلى هو القيمة المقابلة للرتبة الأعلى ( 9 ) هو ( 52 )

المدى هو الربع الأعلى – الربع الادني = 52 – 14 = 38 درجة .

ملاحظة هامة :ـ

تمرين الكتاب صفحة ( 131 + 134 ) معنا في الاختبار

2

الباب الأول : التوزيعات التكرارية

تعريف الإحصاء : Statistics

هو العلم الذي يبحث في :
ü طرق جمع البيانات الصحيحة والدقيقة عن ظاهرة ما ، ثم تلخيص هذه البيانات (بيانيا أو جدوليا) في صورة مبسطة يسهل معها قراءتها.
ü وصف هذه البيانات ثم تحليلها واستخراج النتائج منها، واتخاذ القرارات المناسبة
ü دراسة علاقة الظاهرة بباقي الظواهر وتقدير قيمة الظاهرة في المستقبل.
ü مقاييس النزعة المركزية (المتوسطات)

مقاييس النزعة المركزية (المتوسطات)

الوسط الحسابي

يعرف الوسط الحسابي لمجموعة من القيم ، بأنه مجموع قيم الظاهرة مقسوما على عدد مفرداتها ، ويرمز له بالرمز
1) حالة البيانات الغير مبوبة : (الغير واردة في جدول تكراري)

مثال

س/ أجد الوسط الحسابي للقيم 1 ، 10 ، 9 ، 7 ، 3
الحل / القانون ( مجموع القيم × / العدد )

6 =

30

=

1+10+9+7+3

=

4

5

2) حالة البيانات المبوبة : (الجداول التكرارية)

مثال

س/ احسب الوسط الحسابي من التوزيع التكراري الآتي :

المجموع

40

-30

-20

-10

C

11

1

3

5

2

F

الحل /

F.X

X

F

C

القانون

30

10+20/2=15

2

-10

125

20+30/2=25

5

-20

105

30+40/2=35

3

-30

45

40+50/2=45

1

-40

305

11

المجموع

الوسيط Median

3) حالة البيانات الغير مبوبة : (الغير واردة في جدول تكراري)

مثال

أحسب الوسيط 6 ، 2 ، 0 ، 1 ، 3
الحل / نرتب الأرقام تصاعدياً ( من الأصغر إلى الأكبر )
6 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0 وبما أن عدد الأرقام فردي والعدد الذي في المنتصف هو 2
إذا الوسيط = 2

مثال آخر

أحسب الوسيط 8 ، 6 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0 نرتب الأعداد تصاعدياً 8 ، 6 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0
وبما أن عدد الأرقام زوجي نأخذ الرقمين الذين في المنتصف 2 ، 3 ونقسمهما على 2

2.5

=

3 + 2

= الوسيط

2

2) حالة البيانات المبوبة :

مثال

أحسب الوسيط من البيانات

المجموع

20

-15

-10

-5

C

10

6

0

1

3

F

الحل / الجدول الصاعد

C

F

ترتيب الوسيط = المجموع / 2 = 10 / 2 = 5 = O
القانون
الوسيط

5

0

10

3

15

4

20 ( A )

4 ( R1)

المجموع

10 ( R2)

المنوال Mode

هو القيمة التي تتكرر أكثر من غيرها ، أو هو القيمة الأكثر شيوعا أو تكراراً ، ويرمز له بالرمز D

مثال

أحسب المنوال من القيم 3 ، 10 ، 5 ، 3 ، 9 ، 7 ، 3
المنوال = 3

مثال

المنوال من جدول

أحسب المنوال من التوزيع

المجموع

40

-30

-20

-10

C

21

1

3

15

2

F

R2

R

R1

الحل / القانون / ( طول الفترة )Mod
26

مقاييس التشتت

الانحراف المعياري Standard Deviation

تعريفه : هو أدق مقاييس التشتت وأكثرها استخداما ، يعرف بأنه الجذر التربيعي لمتوسط مربعات انحرافات (فروق) القيم عن وسطها الحسابي ، ويرمز له بالرمز S

مثال

أوجد الانحراف المعياري للقيم 5 ، 4، 3 ، 2 ، 1
الحل / X : 1 2 3 4 5
55 = X2: 1 4 9 16 25
القانون

9 =

العلاقة بين مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت

معامل الاختلاف : Coefficient of Variation (c.v)

معادلته

مثال

من القيم أحسب معامل الإختلاف : 3 ، 0 ، 2 ، 1
الحل/ القانون

X : 1 2 0 3
14 = X2: 1 4 0 9
1.5 = 6/4 =

معامل الالتواء : Coefficient of Skewness (SK)

معادلته

ملخص

1

الوسط الحسابي من قيم

2

الوسط الحسابي من جدول

3

الوسيط : من قيم زوجية ، قيم فردية = ترتيب تصاعدي ثم نأخذ القيمة الوسطى إذا كانت فردية أما إذا كانت زوجة فنجمع الرقمان الوسطان وتقسم على 2

4

المنوال : هو الأكثر شيوعاً

5

الإنحراف المعياري

6

معامل الإختلاف

الباب الثالث

الارتباط والانحدار المستقيم

تعريف الارتباط / هو علاقة بين ظاهرتين أو متغيرين (x,y) بمعنى أنه إذا تغير أحد المتغيرين فإن الآخر يتبعه . إما في نفس الاتجاه فيكون الارتباط طردي ، مثل العلاقة بين الدخل والاستهلاك . أو في اتجاه مضاد فيكون الارتباط عكسي ، مثل العلاقة بين الاستهلاك والادخار. وإذا كانت الظاهرتين مستقلتين يكون الارتباط منعدم ، مثل العلاقة بين طول الطالب ودرجة الاختبار

وشكل الانتشار يوضح نوع هذه العلاقة

(طردية – عكسية – منعدمة)

معامل ارتباط بيرسون : (الخطي)

هو معامل رقمي يوضح نوع ودرجة العلاقة بين الظاهرتين ، ويرمز له بالرمز ( r ) .
معادلته
الوسط الحسابي للظاهرة x ( ) ، الوسط الحسابي للظاهرة y ( )
الانحراف المعياري للظاهرة x : Sx ( ) ،
الانحراف المعياري للظاهرة y : Sy( )

مثال

لدراسة العلاقة بين الدخل ( x ) والإستهلاك ( y ) بآلاف الريالات وكانت لدينا النتائج
åx = 120 åy = 100 åxy = 516
åx2 = 720 åy2 = 410 n = 40
أحسب معامل إرتباط بيرسون بين الظاهرتين

هامش حسابي

الارتباط طردي قوي

قيمة r تكون موجبة في حالة الارتباط الطردي وتكون سالبة في حالة الارتباط العكسي .وتساوي صفر في حالة الارتباط المنعدم .
في حالة الارتباط الطردي التام تساوي +1.وتساوي -1 في حالة الارتباط العكسي التام.وتتراوح بين ±1 وتزداد قوتها كلما قربت من الواحد الصحيح

معامل ارتباط الرتب ( سبيرمان )

حيث : الفرق بين رتب (ترتيب) x ، ورتب (ترتيب) d : y

مثال

أحسب معامل ارتباط سبيرمان للظاهرتين (x,y)

1

5

2

3

2

x

4

2

3

1

0

y

الحل / أولاً نرتب الظاهرتين تصاعدياً

5

3

2

1

x

4

3

2

0

y

الرتبة هي ترتيب الرقم في الجدول

d2

d

= رتبx – رتب y

yرتب

x رتب

Y

X

2.25

1.5

1

2.5

0

2

4

2

4

1

3

2.25

1.5-

4

2.5

3

2

4

2

3

5

2

5

16

4

5

1

4

1

28.5

ارتباط ضعيف عكسي

معادلة خط الانحدار

معادلة خط الإنحدار
b هي الجزء المقطوع من محور y ، b1 هي ميل الخط المستقيم أو معامل انحدار y/x وهما يعرفان بمعالم العلاقة الخطية

مثال

من مثال معامل ارتباط بيرسون ص 5 أوجد معادلة خط الانحدار

- ماهو تقدير الإستهلاك عندما يصل الدخل 10000

لابد أن نحسب ( )

الأرقام القياسية

الرموز المستخدمة :
السعر P ، الكميةQ ، فترة الأساس 0 ، فترة المقارنة1
1. الرقم القياسي البسيط للأسعار :

2. الرقم القياسي للأسعار المرجح بكميات الأساس [لاسبير) :

3. الرقم القياسي للأسعار المرجح بكميات المقارنة [باش] :

4. الرقم القياسي الأمثل للأسعار [فيشر] :

لاسبير × باشي

مثال

الجدول الآتي يوضح أسعار ثلاث سلع والكميات المستهلكة منها عامي 1407 ، 1410هـ .

السلع

1407

1410

الكمية

السعر

الكمية

السعر

أ

5

30

8

40

ب

8

10

12

20

ج

7

20

10

30

والمطلوب بإعتبار أن عام 1407هـ سنة أساس حساب :
1- الرقم القياسي البسيط للأسعار
2- الرقم القياسي المرجح للأسعار بكميات الأساس ( لاسبير )
3- الرقم القياسي للأسعار المرجح بكميات المقارنة ( باش )
4- الرقم القياسي الأمثل للأسعار ( فيبشر )
الحل / نضيف على الجدول بعض الخانات ليصبح كالتالي :

السلع

1407

1410

P1Q0

P0Q0

P1Q1

P0Q1

السعر P0

الكمية Q0

السعر P1

الكمية Q1

أ

5

30

8

40

240

150

320

200

ب

8

10

12

20

120

80

240

160

ج

7

20

10

30

200

140

300

210

المجموع

20

30

560

370

860

570

1- الرقم التجميعي البسيط = 150 = 100 × ( 20 / 30 )
الأسعار زدت بنسبة 50 % ( بمقارنة الناتج مع 100 % )

2- الرقم القياسي المرجح يكميات الأساس ( لاسبير ) = 151.35 = 100 × ( 560 / 370 )
أن الأسعار زادت بمقدار 51.35 % عن سنة الأساس

3- الرقم القياسي للأسعار المرجح بكميات المقارنة ( باش ) = 15.9 = 100 × ( 570 / 860 )
أي أن الأسعار زادت 50.9 عن سنة الأساس

لاسبير × باشي

150.9 × 151.35

4- الرقم القياسي الأمثل ( فيشر ) = = 51.1
أي أن الأسعار زادت بمقدار 51.1% عن سنة الأساس

الاحتمالات Probability

نعريف الإحتمال / إذا كان لدينا تجربة ما ، تقع بطرق عددها (N) طريقة ، وكان من بينها حدث معين (A) مثلاً يقع بطرق عددها (m) طريقة . فإن احتمال وقوع الحدث (A) ويرمز له بالرمز ؛ P (A) ومعادلته
أي = عدد مرات ظهور الحدث (A)/ عدد الحالات الكلية (N)
عدد مرات ظهور الحدث : m ، عدد الحالات الكلية : N

مثال

ألقيت زهرة نرد (طاولة) مرة واحدة ، ما هو احتمال ظهور عدد زوجي ؟عدد زوجي (الحدث) : A
الحل / m = 3 ، N = 6
الأعداد الزوجية التي ممكن ظهورها عند رمز الحدث (A) هي : 6 ، 4 ، 2

مثال

سحبت ورقة من أوراق اللعب ( الكوتشينة ) ماهو إحتمال أن تحمل الرقم 7

الحل / عدد مرات ظهور الورقة 7 =m=4
في نفس السؤال ماهو إحتمال أن تكون صورة
الحل / عدد مرات ظهور صورة =m= 12

مثال

مصنع للمصابيح الكهربائية . من كل (1000) مصباح يوجد(50) مصباح رديء . ما هو احتمال وجود مصباح جيد ؟
الحل / المصابيح الجيدة = 950 ، المصابيح الرديئة = 50
إحتمال أن يكون المصباح جيد
احتمال ان يكون المصباح رديء

ملاحظة : أي أن احتمال ونوع أي حادثة + احتمال عدم وقوعها = 1

التوافيق

مثال

بكم طريقة يتم إختيار رجلين من بين 4 رجال
الحل / (n) = 4 ، (x) = 2

أو من الآلة الحاسبة أسرع

مثال

بكم طريقة يمكن تكوين بعثة من 3 رجال وأمرأتين من بين 6 رجال و 5 نساء
الحل / عدد طرق الرجال =
عدد طرق النساء =
\ عدد طرق تكوين البعثة

بعض قوانين الاحتمالات

= تقاطع ، = اتحاد
1- حالة الاحداث المانعة
2- حالة الاحداث الغير مانعة

مانعة

+ أوÈ

غير مانعة

3- حالة الاحداث المستقلة غير مهم لا يأتي في الإختبار
4- حالة الأحداث غير المستقلة غير مهم لا يأتي في الإختبار

مستقلة

×و

غير مستقلة

حيث : P(B/A) يسمى الاحتمال الشرطي – أي وقوع الحدث (B)بشرط أن يكون الحدث (A) قد وقع فعلاً

مثال

1- حالة الاحداث المانعة
سحبت ورقة ن اوراق اللعب ما هو احتمال ظهور الرقم 3 أو صورة

( يعرف أنه حدث مانع من كلمة أو ، و عدم تشابهه الإحتمالين )

الحل / حدوث صورة : B ، حدوث الرقم 3 : A ، حدثان مانعان A,B

2- حالة الاحداث المانعة
ألقيت زهرة نرد (طاولة) مرة واحدة ، ما هو احتمال ظهور الرقم 2 أو رقم فردي ؟

( يعرف أنه حدث غير مانع من كلمة أو ، و تشابهه الإحتمالين )

الحل / :A ÷ 2 ، :B ÷ 3 حدثان غير مانعين A,B

في نفس السؤال السابق / أوجد إحتمال عدد أكبر من 2 أو زوجي
الحل / عدد أكبر من 2 : B عدد زوجي : A

التوزيع الطبيعي

قانونه حيث الانحراف المعياري= s ، المتوسط = m

مثال

إذا كان دخل (1000) أسرة في مدينة ما يتبع توزيع طبيعي متوسطه 1800 (m) ريال وانحرافه المعياري 300 (s) ريال .
احسب احتمال الحصول على دخل :
1- أكبر من 2400 ريال 2- أكبر من 1500 ريال .
3- أقل من 2550 ريال 4- أقل من 1200 ريال
5- ينحصر بين 2250 ، 1650 ريال . 6- ينحصر بين 2400 , 2550 ريال .
7- أوجد عدد الأسر التي يزيد دخلها عن 1500 ريال .
الحل /(x) متغير عشوائي مستمر يتبع توزيع طبيعي عادي متوسط 1800 = m ريال ، وانحرافه المعياري 300 = s ريال
نحوله إلى توزيع طبيعي قياسي (z) بالتحويلة
1-

P=.5

P=.5

0

z

+

-

2

=.0228
2-

P=.5

P=.5

-1

z

+

-

0

3-

P=.5

P=.5

2.5

z

+

-

0

4-

P=.5

P=.5

-2

z

+

-

0

5-

P=.5

P=.5

z

.5

1/2

0

1 .1/2

قيمة في الرسم محصورة بين 1.5 ، -0.5

6-
من (1) من (2)

z

0

2 2.5

7- عدد الأسر التي يزيد دخلها عن 1500 ريال
× جملة عدد الأسر=
(من المطلوب 2) =1000 x .8413
= 841.3
أسرة = 841

التقدير Estimation

درجات الثقة الشائعة هي : 90% , 95% , 99%

فإذا كانت درجة الثقة 90%
تكون

وإذا كانت درجة الثقة 95%
تكون

وإذا كانت درجة الثقة 99%
تكون

مثال

مصنع لإنتاج المصابيح الكهربائية ، اختير من إنتاجه عينة حجمها (100) مصباح ، فإذا كان متوسط عمر المصباح من العينة (1200) ساعة وانحرافه المعياري (250) ساعة . قدر بدرجة ثقة 95% متوسط عمر المصباح من إنتاج المصنع كله .
الحل /

الحد الأعلى لمتوسط عمر المصباح
الحد الأدنى لمتوسط عمر المصباح
متوسط عمر المصباح

مثال

من التوزيع الطبيعي قدر أطوال النباتات في المزرعة كلها بدرجة ثقة 95%

المجموع

70

60

50

40

30

20

فئات الطول

100

9

14

22

30

15

10

عدد النبات

الحل / الحد الأعلى
الحد الأدنى
لابد من حساب الوسط الحسابي لحل المسألة

نقوم بعمل الجدول التالي

f x2

f x

x

f

c

6250

250

25

10

20

18375

525

35

15

30

60750

1350

45

30

40

66550

1210

55

22

50

59150

910

65

14

60

50625

675

75

9

70

261700

4920

100

S

الحد الأعلى لطول النبات =
الحد الأدنى لطول النبات =

اختبار الفروض الإحصائية

فرض العدم = Ho
الفرض البديل = H1

مثال

إذا كان متوسط أعمار العاملين في إحدى المؤسسات عام 1998 هو (36) سنة ، وفي عام 2001 أخذت عينة من (64) فرداً من العاملين في هذه المؤسسة ، فوجد أن الوسط الحسابي لأعمارهم (40) سنة والانحراف المعياري (8) سنوات . هل يدل ذلك على أن متوسط أعمار العاملين في المؤسسة عام 2001 قد اختلف عن متوسط أعمارهم عام 1998 ؟ وذلك عند مستوى معنوية a=.05 .
الحل /
1- اختبار إحصائي
فرض العدم
الفرض البديل
2- حساب z الإحصائية
3- تحديد مناطق الرفض والقبول

z

a/2

منطقة رفض

1-a

منطقة قبول

a/2

منطقة رفض

نلاحظ أن قيمة z المحسوبة وقعت في منطقة الرفض

3- إتخاذ القرار
z المحسوبة تقع خارج منطقة القبول (في منطقة الرفض) إذا نرفض Ho فرض العدم ونقبل H1 الفرض البديل

ملاحظة / إذا وقعت (z) المحسوبة في منطقة القبول \ نقبل Ho فرض العدم ونرفضH1 الفرض البديل
والعكس ، إذا وقعت (z) المحسوبة في منطقة الرفض \ نرفض Ho فرض العدم ونقبل H1 الفرض البديل

مثال

اختيرت عنية من (25) وحدة من منتج معين ، فوجد أن الوسط الحسابي لأوزانها هو (2.005) كجم . اختبر الفرض القائل أن متوسط أوزان هذا المنتج في المجتمع المسحوب منه العينة يساوي (2) كجم عند مستوى معنوية .01= α. وذلك بفرض أن أوزان تلك الوحدات في المجتمع تتبع توزيع طبيعي انحرافه المعياري (s) هو ( .008) كجم
الحل /
درجة ثقة 99% = 0.01 = α
1- الإختبار الإحصائي
فرض العدم
الفرض البديل
2- حساب z الإحصائية
3- تحديد مناطق الرقض والقبول

z

a/2

منطقة رفض

1-a

منطقة قبول

a/2

منطقة رفض

\Z المحسوبة تقع خارج منطقة القبول (في منطقة الرفض)
4- إتخاذ القرار / نرفض Ho فرض العدم ونقبل H1 الفرض البديل

اختبار فرض حول النسبة في المجتمع P

نستخدم نفس خطوات اختبار فرض حول متوسط المجتمع m في حالة العينات الكبيرة . مع ملاحظة أن :-

مثال

من بين (900) شخص وجد أن عدد المؤيدين منهم لرأي معين هو (738) شخص . اختبر الفرض أن نسبة المؤيدين لذلك الرأي في المجتمع هو (.8) ، وذلك عند مستوى معنوية a=.01

الحل /
درجة ثقة 99% = 0.01 = α

1- الإختبار الإحصائي
فرض العدم
الفرض البديل
2- حساب Z الاحصائية
3- مناطق القبول والرفض

a/2

منطقة رفض

منطقة قبول

منطقة رفض

2.58

-2.58

F(z)

z

1-a

a/2

Z تقع في منطقة القبول
4- إتخاذ القرار / نقبل Ho فرض العدم ونرفض H1 الفرض البديل

مثال

إذا كانت نسبة المدخنين في إحدى المدن عام 1990 هي 28% ، وفي عام 2000 ، أخذت عينة من (1400) شخص فكان بينهم (350) من المدخنين .هل تدل هذه النتائج على انخفاض نسبة المدخنين بين عامي 1990 ، 2000 . وذلك عند مستوى معنوية a=.05 .
الحل /
1- الإختبار الإحصائي
فرض العدم
الفرض البديل (الاختبار من الطرف الأيسر)
2- حساب Z الاحصائية
3- مناطق القبول والرفض

منطقة رفض

1-a

منطقة قبول

F(z)

z

a

-1.65

Z = 2.5- وتقع في منطقة الرفض
4- اتخاذ القرار / نرفض Ho فرض العدم ونقبل H1 الفرض البديل
أي أن نسبة المدخنين عام 2000 انخفضت عما كانت عليه عام 1990

ملخص

اختبار الفروض

عينية

نسبة

لابد أن يذكر الوسط الحسابي والمتوسط والانحراف المعياري

ملخصات قوانين

مقاييس النزعة المركزية (المتوسطات)

1

الوسط الحسابي من قيم

2

الوسط الحسابي من جدول

3

الوسيط : من قيم زوجية ، قيم فردية = ترتيب تصاعدي ثم نأخذ القيمة الوسطى إذا كانت فردية أما إذا كانت زوجة فنجمع الرقمان الوسطان وتقسم على 2

4

المنوال : هو الأكثر شيوعاً

مقاييس التشتت

5

الإنحراف المعياري

6

معامل الإختلاف

7

معمل الالتواء

العلاقة بين مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت

8

معمل الإختلاف

الارتباط والانحدار المستقيم

9

معامل ارتباط بيرسون : (الخطي)

10

معامل ارتباط الرتب (سبيرمان)

11

الانحدار الخطي البسيط

12

b هي الجزء المقطوع من محور y ، b1 هي ميل الخط المستقيم أو معامل انحدار y/x وهما يعرفان بمعالم العلاقة الخطية

الأرقام القياسية

الرموز المستخدمة :السعر P ، الكميةQ ، فترة الأساس 0 ، فترة المقارنة1

13

الرقم القياسي البسيط للأسعار

14

الرقم القياسي للأسعار المرجح بكميات الأساس [لاسبير)

15

الرقم القياسي للأسعار المرجح بكميات المقارنة [باش]

16

الرقم القياسي الأمثل للأسعار [فيشر]

لاسبير × باشي

الاحتمالات

نعريف الإحتمال / إذا كان لدينا تجربة ما ، تقع بطرق عددها (N) طريقة ، وكان من بينها حدث معين (A) مثلاً يقع بطرق عددها (m) طريقة . فإن احتمال وقوع الحدث (A) ويرمز له بالرمز ؛ P (A) ومعادلته
أي = عدد مرات ظهور الحدث (A) / عدد الحالات الكلية (N)
عدد مرات ظهور الحدث : m ، عدد الحالات الكلية : N

17

التوافيق

18

حالة الأحداث المانعة ( يكون الحدثان مختلفان عن بعضهما )

Èأو +

19

حالة الأحداث غير المانعة ( يكون الحدثان متشابهان )

Èأو +

20

حالة الأحداث المستقلة

Ç و ´

21

حالة الأحداث غير المستقلة

Ç و ´

ملاحظة : مجموع الاحتمالات لأي حدث وكذلك أي رقم أس صفر = 1

التوزيع الطبيعي القياسي

22

التوزيع الطبيعي
حيث الانحراف المعياري= s ،المتوسط = m

توزيعات المعاينة

23

إذا كان المجتمع الأصلي كبيراً (غير محدود)

24

إذا كان المجتمع الأصلي محدود وحجمه (N)

التقدير ( حيث المجتمع غير محدود )

25

الحد الأعلى

26

الحد الأدنى

27

إذا كانت درجة الثقة 90%

وإذا كانت درجة الثقة 95%

وإذا كانت درجة الثقة 99%

اختبار الفروض الإحصائية

اختبار فرض حول متوسط المجتمع m ( عينة )

28

فرض العدم

الفرض البديل

29

حساب (z) الإحصائية
ملاحظة :إذا وقعت (z) المحسوبة في منطقة القبول \ نقبل Ho فرض العدم ونرفضH1 الفرض البديل
والعكس ، إذا وقعت (z) المحسوبة في منطقة الرفض \ نرفض Ho فرض العدم ونقبل H1 الفرض البديل

اختبار فرض حول النسبة في المجتمع P ( نسبة )

يذكر فيها %

30

فرض العدم

الفرض البديل

31

حساب (z) الإحصائية

3

بسم الله الرحمن الرحيم
احصـــــــــــــــــــــــــــــــــاء

يطلق الإحصائيين على البيانات الاسمية والترتيبه باسم

1- البيانات النوعيه 2- البيانات الكميه 3- النزعة المركزية

تتضمن المتغيرات التي تصنفها إلي وحدات مرتبه ومحددة رقميا

1- بيانات الفترة 2- بيانات النسبة 3- بيانات ترتيبيه

من مقاييس النزعة المركزية للبيانات الترتيبه

1- الوسيط 2- المتوسط الحسابي 3-

ما هو المقياس المناسب إذا كانت توزيع البيانات معتدلة

1- المتوسط الحسابي 2- 3-

المقياس الذي يركز على قيمة واحده فقط وبهمل بقية التوزيعات من عيوب المقياس

1- المنوال 2- الوسيط 3- المتوسط الحسابي

يزود الباحثين بالموضوعية واستخدام الطرق في وصف وتفسير نتائج البحوث

1- الإحصاء 2- 3-

المجموعة التي تضم كل الأفراد المعنيين في دراسة معينه

1- مجتمع البحث 2- 3-

المجموعة التي تم اختيارها من مجتمع البحث بغرض تمثيل مجتمع البحث في دراسته

1- العينة 2- 3-

الدرجات الكلية للقياسات والملاحظات تسمى

1- البيانات 2- 3-

يطلق الإحصائيين علي البيانات الفترة والنسبة أسم

1- البيانات الكميه 2- البيانات النوعية 3-

من عيوب مقياس الفترة

1- عدم إمكانية تحديد بداية المقياس الحقيقي أي لا يمكن معرفة موقع الصفر الحقيقي في المقياس 2- 3-

أختر المقياس المناسب للتبيين نسبة الأجزاء و المجموع الكلي

1- اللوحة الدائرية 2- عمود النسبة المئوية 3-

عبارة عن تقنيات تسمح بدراسة عينات معينة للخروج بتعميمات تنسحب على مجتمع البحث الذي سحبت منه العينة "

1- الإحصاء الاستدلالي 2- 3-

ما يتم رصده من قياس أو ملاحظه بالنسبة لكل فرد تسمى

1- درجه 2- 3-

عبارة عن العمليات الاحصائيه لتبسيط وتنظيم وتلخيص البيانات

1- الإحصاء الوصفي 2- 3-

من مقاييس النزعة المركزية للبيانات النوعية الاسمية

1- المنوال 2- 3-

من مقاييس النزعة المركزية للبيانات الترتيبية

1- الوسيط 2- المتوسط الحسابي 3-

1- يعتبر المتوسط الحسابي من مقاييس البيانات النوعية (خطأ)

2- العينة العشوائية المنتظمة يتم فيها اختيار المفردة التي تقع بعد عدد معين (صح)

3- المدرج التكراري من أنواع الرسوم البيانية (صح)

4- سميت المتغيرات المتصلة لأنها تأخذ إي قسمه تختارها من بين القيم الواقعة بين قيمتين (صح)

5- المنحى التكراري أفضل إيضاح من المضلع التكراري إذا حسن رسمه (صح)

6- المتغيرات المنفصلة تأخذ أي قسمه تختارها من بين القيم الواقعة بين قيمتين (خطأ)

7- عند تحليل الجدول نركز على اللوحة الدائرية (خطأ)

8- ما يميز المجتمع الحديث هو ألدقه في القياس (صح)

9- سميت النتائج المستقاة من دراسة مجتمع العينة " معالم البحث " (خطأ)

10- هامش الخطأ يعطينا صوره مطايقه تماما لمجتمع البحث (خطأ)

بالنسبة للمسائل لم يسعني حفظها لكن سوف أضع بعض المسائل المشابهة طبق الأصل في الاختبار باختلاف الأسماء والأرقام

هناك بعض الأسئلة يضع فيها الأستاذ اختيارات

التكرار

الحالة الاجتماعية

20

متزوج

5

مطلق

4

أرمل

30

أعزب

59

المجموع

السؤال:

المطلوب : أوجد المنوال

سؤال

المجموع

50-59

49-40

39-30

20-29

10-19

فئات الاتفاق

50

7

8

15

10

10

عدد الأسر

المطلوب : أوجد المدى

سؤال

95

65

54

52

45

35

34

32

25

14

13

صفر

القيمة المرتبة

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

رتبة القيم

المطلوب : قياس المدى الربعي

سؤال

أذا كان مجتمع البحث 9000 وحجم العينة المراد سحبها عشوائياّ = 100 والمفردة الأولى =13 ؟

جد المفردة الثانية والثالثة باستخدام طريقة العينة العشوائية المنتظمة؟

عدد الحالات

العمــــــر

15

20-29

25

30-39

40

40-49

20

50-59

15

60-69

10

70-79

المطــلوب قياس المدى

سؤال

الجدول التالي يوضح توزيع المبحوثين حسب درجاتهم في مقياس اللامعياريه

FX

X مراكز الفئات

F عدد الحالات

الدرجات

2

1

2

2 - 0

24

4

6

5-3

56

7

8

8-6

40

10

4

11-9

13

13

1

14-12

135

35

21

المجموع

المطلوب قياس متوسط الدرجات ( البيانات معتدلة ويفضل استخدام المتوسط الحسابي)