[CrEaTiVe4ever]

نجي نكمل شرحنا ياحلوين <<محد لو نفس بعد ردي الجارح :S

نبدأ بسكشن 4.2 :

عنوان السكشن [ some simple proposition ] <<بعض الفرضيات البسيطة ..

السكشن مررررررررة سهل كلو قوانين ونطبق عليها ..

نبدأ بأول فرضية بس قبلها نوضحها شويتين ..
بيقولنا لأي حادثة E والمكملة E^c هما دائماً حادثتين متناقضتين ( واحنا عرفنا اش هيا الحوادث المتناقضة ) ..
حنقول انو اتحاد EUE^c = S

وهذا يوضح [axiom 2- 3 ]
1=P(S)=P(EUE^c)=P(E)+P(E^c)a
^^
نجي نفصلها :
زي ما قولنا الإتحاد \ الإتحاد \ السيمبل سبيس
كالجمع تماماً \

[F,E,E1....En any events - then :l ]
^
لنعتبر F,E,E1 ...الى En اي حوادث :

[Proposition 4.1] ا..

P(E^c) =1-P(E)a

^
قانون المكملة ..

مثــــال ع الفرضية :
لو احتمال ظهور الـH عند القاء قطعة نقود عدة مرات =3/8
فما هو إحتمال ظهور الـ T =؟!

حنجيب المكملة لها اللي هيا من 4.1
=1-3/8=5/8

ومجموعهم = فراغ العينة [ SIMPLE SPACE] ..

نجي لـ 4.2:

نقول لو عندنا الحادثة E والحادثة F ..
وبإعتبار أن الحادثة E هيا جزء من الحادثة F .. هذا يعني أن الحادثة F هيا أكبر من الحادثة E ..

مثــــــــــــــــال عليها : [ الأمثلة من تخريفي ]
نقول أنو الجبنة جزء من السمبوسة بالجبنة <<البنت جيعانة خخ
يعني بإفتراض انو الجبنة E والسمبوسة F
فبالطبيعي انو تكون السمبوسة أكبر من الجبنة ..

مثــــــــــــــال آخر :
نقول إنو بإفتراض ان الصفحة E والكتاب F
هذا يعني ان الـE جزء من الـF ..
وإن الـF أكبر من الـE ..

وهذا يوضح لنا الـ 4.2 ..

طيب نجي لـ 4.3 :
الفرضية دي توضحلنا العلاقة بين التقاطع و الإتحاد ..
كيف ؟!
تعالو نشوف ..

إذا فاكرين الرسومات اللي في صفحة 27 .. بالزبط رسمة A -B
منها حنفهم دي الفرضية ..

إعتبرو ان الـ F هيا دائرة O
والـ E دائرة تانية O
والـ ( EF ) هيا OO فلما نجمع الـ F مع الـ E حيسير عندنا منطقة حسبناها مرتين وهيا الجزء المظلل في رسمة B ونفس دا الجزء هوا التقاطع .. فنطر نطرحو [ نستبعدو ] ..
ليش؟!
لأن لو ما استبعدنا يسير أنا جمعت دي المنطقة مرتين .. وهذا خطأ ..
حيطلع نتيجة احتمالنا خاطئة ..
فهمتو؟!

نجي لمثال 4a حيشرحلنا دي الفرضية :

بقولنا انو بنت اسمها [J] أخذت كتابين معاها في إجازتها ..

وبيقول انو احتمال انها تحب كتابها الأول = 0.5
واحتمال انها تحب كتابها التاني =0.4
واحتمال انها تحب الإتنين مع بعض = 0.3

فما هو احتمال انها ماتحب ولا واحد منهم =؟!

حنقول انو احتمال انها تحب على الأقل واحد منهم يساوي ..

P(B1 U B2 )= P(B1)+P(B2)-P(B1B2)=.5+.4-.3=.6

ولأنو طلب مننا انو نجيب احتمال انها ماتحب ولا واحد منهم حنجيب المكملة للنتيجة اللي جبناها ..

1-0.6=0.4
وهو المطلوب ..

Proposition 4.4

هادي الفرضية توضحلنا انو نقدر نعمل اتحاد لعدة حوادث E,F,G...n من الحوادث ..
وهذا بقانون التوزيع اللي أخذنا نهاية صفحة 26 ..

وموجودة بالكتاب ص 34 ..

وتعرف بفرضية inclusion - exclusion identity

توضيح : هادي العملية (n/r) هيا نفسها (nCr) يعني توافيق ..

واللي مو عارف مثلاً يفرق بينها يعني كيف أعرف الـn في المسألة من الـ r حنقول انو داااائماً الـ n أكبر أو تساوي الـ r وعمرها ماجات أصغر منها ..

وحنتعرف عليها لما نحل مسائل أكثر قدام بإذن الله ..

2.5 .. Sample space having equally likely outcomes

من الطبيعي أن نعتبر أن كل النتائج في فراغ العينة متساوية في فرص الظهور ..

ولنقل أن S={1,2...N}a

P(1)=P(2)=P(N)a
^
^^
هذا يعني أن فرصة ظهور الإحتمال 1 هي نفس فرصة ظهور الإحتمال 2 إلى N من الإحتمالات ..

واحتمال الحادثة 1
P(1)=1/N إلى N

واحتمال حدوث أي حادثة
P(E)1= عدد النتائج في الـE/عدد النتائج في الـS


وبالتطبيق :
مثــــــــــــــــال 5A :

أستاذتنا أضافة حالتين زيادة وقالت عشان تعرفو تحلوها في كل الحالات وتمرنو نفسكم أكثر فتعالو نشوفها مع بعض :) ..

فحأكتب الحالتين وأترجم المثال ..

أولاً المثال اش بيقول ؟!
بيقول انو لو رمينا حجرين نرد ماهو احتمال انو مجموع النتيجتين من من الحجرين يساوي الـ 7
دا اللي في المثال ..

الإضافة حنسميها فقرة A
[The points on the upturned faces are be equal

النتيجة من الأوجه المقلوبة لكلا الحجرين متساوية ..

فقرة B :
[The multiplicatian of upturned faces will equal 12

نتيجة ضرب الأوجه المقلوبة لكلا الحجرين يساوي 12

نجي نحل المثال

E={(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}a
P(E)=6 >>> P(E)=6/36

فقرة A

B= {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}a
P(B)=6 >>>> P(B)=6/36=1/6

فقرة B

C= {(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)}a
p(c)=4 >>> p(c)= 4/36 =1/9

مثــــال 5b :
بيقول انو لو 3 كور سحبنها عشوائياً من صندوق يحتوي 6 كرات بيضاء و5 سوداء ..

فما احتمال انو تكون وحدة بيضاء واثنتان سوداء ..

نجي نحلها ..
عندنا طريقتين للحل [1]..

P الاحتمال= عدد طرق الإختيار المطلوبة /عدد الطرق الكلية ..

مجموع الـ 6+5=11
واللي حنسحبها 3 ..

اذاً عدد الطرق الكلية يساوي 11C3

احتمال ان وحدة بيضاء من 6
و2 سوداء من 5
اذاًعدد طرق الإختيار المطلوبة = 6C1 ×5C2

ونحطها البسط ع المقام وتطلع معانا ..

الطريقة الـ[2] ..

A={WBB,BWB,BBW}a

يا حتكون الأول بيضاء والثانية سوداء سوداء
ياسوداء بيضاء سوداء
ياسوداء سوداء بيضاء ..

فحنقول
6×5×4
=120
يالأولى ياالتانية يالتالتة ..
5×4×3
=120
نفس الشيء
5×4×3
=120
والكلية اللي هيا 3 مرات للسحب
11×10×9
=990

120+120+120
÷
990

وحيطلع الناتج معانا :) ..


مثــــــــــــــال 5c :

بيقولنا لجنة تتكون من 5 أعضاء ..
ويتم اختيارها من مجموعة مكونة من 6 رجال و9 نساء ..
فما هو احتمال ان تتألف اللجنة من 3 رجال و امرأتين ؟!

حنعمل نفس الطرق السابقة ..

6C3×9C2/15C5
=240/1001

مثال 5L:

بيقول انو مجموع أعضاء لاعبي التنس بنادي يساوي 36 ..
و28 لاعبي سكواش ..
و18 لاعبي تنس كرة الريشة ..
وأضف إلى ذلك .. 22 من الأعضاء يلعبون التنس والإسكواش .. 12 يلعبون التنس والريشة ..
و9 يلعبون كلا السكواش وتنس الريشة .. و4 كل هذه الرياضات ..

فكم عدد الأعضاء في هذا النادي يلعبون على الأقل لعبة واحدة من هذا الرياضات ؟َ

هذا المثال جمعلنا كذا قانون وفرضية .. منها 4.3 صـ32 و 4.4 صـ34

نقدر نمثلهم بالرسم اذا احتجنا نفهم أكثر [رسم الدوائر واستبعاد التداخل ]..

خلونا نعتبر الـ N عدد الأعضاء في النادي sample space ..

ونقول
T=tennis
S=squash
B=badminton

n(T)=36 , n(TS)=22
n(S)=28 , n(TB)=12
n(B)=18 , n(SB)=9
n(TSB)=4

P(T U S U B)=P(T)+P(S)+P(B)-P(TS)-P(TB)-P(SB)+P(TSB)=36+28+18-22-12-9+4/N
=43/N

اذاً 43 هو عدد الأعضاء بالنادي اللذين يمارسون رياضة واحدة على الأقل ..

طيب نجي لسكشن 2.6 :
هنا الخلاصة اما أن تكون الحوادث سلسلة تزايدية أو تناقصية ..

هذا يعني الـ Proposition 6.1

وموجود في الكتاب صـ 49 ..

ومالقيتلو مثال عشان نفهمها أكثر فاللي عندو لا يقصر :) ..

طيب .. هنا وصلنا لنهاية التشابتر 2 بحمد الله وتوفيقه ..

أتمنى اني أكون ساعدكم لو بشي بسيط ..
وأتمنى انكم تسامحوني على كُـــــــــــــل شيء أزعجكم مني ..
أوأخطأت أو قصرت فشرح نقطة معينة .. ما أنا الا بشر أُخطئ وأصيب ..

وبإذن الله حنزل مسائل الباب اللي معانا .. ومسائل خارجية للتطبيق على كل جزئية عما قريب ..

هذا قد قلت ما قلت ان صواباً فمن الله .. وإن خطأً فمن نفسي والشيطان ..

مُوفقيــــــــــــــــن حبايبي